练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直精英家教网线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
    （1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
    （2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由；
    （3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
    分析：（1）为了求出三角形的面积，我们要作高线．通过特殊角的三角函数求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．这样，这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了．
    （2）首先由两步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，证得BF=CH，然后分三种情况：
    ①0＜t＜6时，②t=6时，③t＞6时；
    在上述三种情况中，通过线段间的等量代换，都可证得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面积相等，由于△ABC的面积是定值，所以△FHG的面积不变．
    （3）分两种情况：①点F在线段BC上，②点F在BC的延长线上；可通过线段间的等量关系，求出BF的值，从而求得t的值．
    解答：精英家教网解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠ACB=60°．
    ∵GA∥BC，
    ∴∠MAE=60°．
    ∵AD=AE=4，
    ∴ME=AE•sin60°=2
    		3
    ，BD=AB-AD=8，
    又GA∥BH，
    ∴△AGD∽△BFD，
    ∴
    AG
    BF
    =
    AD
    BD
    =
    1
    2
    ，
    又∵BF=2t，
    ∴AG=t．
    ∴S=
    		3
    t．

    （2）猜想：不变．
    ∵AG∥BC，
    ∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
    ∴
    AG
    BF
    =
    AD
    BD
    ，
    AG
    CH
    =
    AE
    EC
    ，
    ∴
    AD
    BD
    =
    AE
    EC
    ，
    ∴
    AG
    BF
    =
    AG
    CH
    ，
    ∴BF=CH．
    情况①：0＜t＜6时，
    ∵BF=CH，
    ∴BF+CF=CH+CF，
    即：FH=BC；
    情况②：t=6时，有FH=BC；
    情况③：t＞6时，
    ∵BF=CH，
    ∴BF-CF=CH-CF，
    即：FH=BC．
    ∴S△GFH=S△ABC=36
    		3
    ．
    综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36
    		3
    cm2．精英家教网

    （3）∵BC=FH，∴BF=CH．
    ①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
    ∵BC=12，∴BF=FC=6，
    又∵点F的运动速度为2cm/s，
    ∴t=3．
    ∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
    ②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
    ∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
    又∵点F的运动速度为2cm/s，
    ∴t=12．
    ∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
    综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．
    点评：此题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识，同时还涉及分类讨论的数学思想，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，等边△ABC的边长为l，取边AC的中点D，在外部画出一个新的等边三角形△CDE，如此绕点C顺时针继续下去，直到所画等边三角形的一边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的边长为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    10、如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知：如图，等边△ABC的边长为6，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE=2，直线l过点A，且l∥BC，若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设F点运动的时间为t秒，当t＞0时，直线DF交l于点G，GE的延长线与BC的延长线交于点H，AB与GH相交于点O．
    （1）当t为何值时，AG=AE？
    （2）请证明△GFH的面积为定值；
    （3）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，等边△ABC的边长为2，AD是△ABC的角平分线，
    （1）求AD的长；
    （2）取AB的中点E，连接DE，写出图中所有与BD相等的线段．（不要求说理）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案