Question

1．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． 0.5
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据题意知AE=5t、BF=3t，由$\frac{AE}{AD}$=$\frac{t}{2}$=$\frac{BF}{AB}$且∠DAE=∠ABF=90°证△ADE∽△BAF得∠2=∠3，结合∠3=∠4、∠1=∠2得∠1=∠4，即可知DF=DA，从而得6²+（10-3t）²=10²，解之可得t的值，继而根据0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．

解答 解：如图，

根据题意知，AE=5t，BF=3t，
∵BC=10cm，DC=6cm，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{5t}{10}$=$\frac{t}{2}$，$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3t}{6}$=$\frac{t}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}$，
又∵∠DAE=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴DF=DA，即DF²=AD²，
∵BF=3t，BC=10，
∴CF=10-3t，
∴DF²=DC²+CF²，即DF²=6²+（10-3t）²，
∴6²+（10-3t）²=10²，
解得：t=$\frac{2}{3}$或t=6，
∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，
∴0≤t≤$\frac{6}{5}$，
∴t=$\frac{2}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边和矩形的性质等知识点，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似继而由等角对等边得出关于t的方程是解题的关键．