Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．

（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；

（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．

（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4；y＝﹣2x2+2x+4；（2）①S△APC＝﹣2m2+4m，②m＝1时，△APC的面积为S有最大值，最大值为2；（3）存在．点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）. 理由见解析.

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）①过点P作PH∥y轴交AC于点H，则S△APC＝S△PHC+S△PHA，用m的代数式表示出PH的长，而OA=2，整理即得结果；②求由①得到的函数关系式的最大值即可；

（3）根据点M在直线y=－2x+4上，可设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分∠EMF＝90°和∠MFE＝90°两种情况，分别根据点M到坐标轴的距离相等和等腰直角三角形的性质列式求解即可.

解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（2，0）、C（0，4），

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4；

又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；

（2）①设P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），

如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），

∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，

∴＝﹣2m2+4m．

②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，

∴m＝1时，△APC的面积为S有最大值，最大值为2．

（3）存在．

理由如下：如图2，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，

∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），

①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），

解得a＝或a＝4，

∴点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），

点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；

②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣（﹣2a+4）或a＝

当a＝﹣（﹣2a+4）时，解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，

此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），

当a＝ 时，方程无解，

综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），

点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；

点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）.