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    （2009•广安）已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
    （1）求A、B、C三点的坐标；
    （2）求此抛物线的解析式；
    （3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）解方程x2-5x+4=0，求出两根，得到OA，OC的长，即可以得到A，C两点的坐标，已知抛物线的对称轴是x=1，A，B一定关于对称轴对称，因而B的坐标也可以相应求出．
    （2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
    （3）已知DE∥BC，则得到△AED∽△ACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）．△DEC与△ABC的CE，AC边上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出．
    S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题．根据函数的性质就可以得到．
    解答：解：（1）∵OA、OC的长是x2-5x+4=0的根，OA＜OC，
    ∴OA=1，OC=4，
    ∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
    ∴A（-1，0）C（0，-4），
    ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
    ∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
    ∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；

    （2）∵点C（0，-4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上，
    ∴c=-4，
    将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-4，
    得，
    解之得，
    ∴所求抛物线解析式为：；

    （3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
    在Rt△OBC中，BC==5，
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∽△ABC，
    ∴，
    ∴，
    过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=，
    ∴，
    ∴EF=DE==4-m，
    ∴S△CDE=S△ADC-S△ADE=（4-m）×4（4-m）（4-m）
    =m2+2m（0＜m＜4）
    ∵S=（m-2）2+2，a=＜0
    ∴当m=2时，S有最大值2．
    ∴点D的坐标为（1，0）．
    点评：本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值．
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