Question

12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如：在下面甲、乙、丙图中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）特例探究：如图甲，当∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$时，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$；
              如图乙，当∠ABE=30°，c=2时，a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$；
（2）观察特例探究结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，并利用图丙证明你的猜想；
（3）如图丁，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AD=2$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长度．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论；
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．

解答 解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=BC=2$\sqrt{5}$，
∴a=b=2$\sqrt{5}$，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵EF∥AB，
∴△PEF∽△PBA，
∴$\frac{PF}{PA}$=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，∵AB=2，∠ABP=30°，
∴AP=1，PB=$\sqrt{3}$，
∴PF=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，BF=$\sqrt{3+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$．
故答案为2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$；$\sqrt{13}$，$\sqrt{7}$．

（2）猜想：a²+b²=5c²，
如图3，连接EF，
设∠ABP=α，∵AF⊥BE，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$csinα，PE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$ccosα，
AE²=AP²+PE²=c²sin²α+$\frac{1}{4}$c²cos²α，BF²=PB²+PF²=c²cos²α+$\frac{1}{4}$c²sin²α，
∴（$\frac{1}{2}$b）²=c²sin²α+$\frac{1}{4}$c²cos²α，（$\frac{1}{2}$a）²=c²cos²α+$\frac{1}{4}$c²sin²α，
∴$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{4}$b²=c²cos²α+$\frac{1}{4}$c²sin²α+c²sin²α+$\frac{1}{4}$c²cos²α，
∴a²+b²=5c²；

（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FCH}\\{∠AHE=∠FHC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF²+EF²=5AE²，
∴AF²=5（$\sqrt{5}$）²-EF²=16，
∴AF=4．

点评 本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，相似三角形、平行四边形、全等三角形的判定与性质等知识，注意类比思想在本题中的应用，得出AF²+EF²=5AE²是解题的关键．