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【题目】在等腰梯形ABCD中,ADBCAD3ABCD4BC5,∠B的平分线交DC于点E,交AD的延长线于点F

1)如图(1),若∠C的平分线交BE于点G,写出图中所有的相似三角形(不必证明);

2)在(1)的条件下求BG的长;

3)若点PBE上动点,以点P为圆心,BP为半径的P与线段BC交于点Q(如图(2)),请直接写出当BP取什么范围内值时,AP内;AP内而点EP外.

【答案】1)见解析;(2BG ;(3)①当BP时,点A在⊙P内;②当BP时,点AP内而点EP外.

【解析】

1)利用平行线的性质和角平分线定义找到相等的角,进一步根据两角对应相等证明三角形相似;
2)根据平行线的性质和角平分线定义,得∠ABE=AFB,则AB=AF=4,则DF=1;根据平行线分线段成比例定理求得DECE的长;根据等腰梯形的性质和角平分线定义,得BG=CG;设BG=CG=x,根据△FDE∽△CGE,求得BG的长;
3)根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析.

解:(1)△ABF∽△GBC,△FDE∽△CGE∽△BCE.理由如下:

ADBC,AB=CD,

∴∠AFBEBCABCDCB

BF平分ABC, CG平分BCD,

∴∠ABFBCG=ABCDCB

ABF∽△GBC

DFBC

FDE∽△BCE

∵∠AFBDCG=ABCDCBDEFCEG

FDE∽△CGE.

FDE∽△CGE∽△BCE

2BE平分B

∴∠ABEEBC

ADBC

∴∠AFBEBC

∴∠ABEAFB

ABAF

AF4DF1

ADBC

DFBCDEEC

DECE

ADBCABCD

∴∠BCDABC

CG平分BCDBE平分ABC

∴∠CBGBCG

BGCG

BGCGx,则由FDE∽△CGE,得

DFCGDEGE

GEx

又由CGE∽△BCE,得

EC2EGEB

xx+x),

x

BG

3连接AP,当BPAP时,点A在圆P上,此时ABP∽△ABF,求得BP

BPAP时,点AP内.

BP时,点AP内.

根据求得BE

BPBE,即BP时,点AP内而点EP

BP时,点AP内而点EP外.

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1AO的长为   AB的长为   (直接写出答案)

2)求证:ACE∽△BEF

3)若圆心H落在EF上,求BC的长;

4)若CEG是以CG为腰的等腰三角形,求点C的坐标.

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