Question

1．如图，抛物线y=（x+1）²+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将C（0，-3）代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连结AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，设M（x，x²+2x-3），则D（x，-x-3），则MD=-x²-3x，然后依据四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标；
（3）先求得抛物线的对称轴方程为x=-1，然后过点M作MD⊥直线x=-1，垂足为D，设直线x=-1与x轴交于点E，先证明△APE≌△PMD，从而得到EP=MD，AE=PD．设点P（-1，a），点M（a-1，a-2）．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标．

解答 解：（1）∵y=（x+1）²+k与y轴交于点C（0，-3）
-3=1+k，得，k=-4
∴抛物线解析式为y=（x+1）²-4，即y=x²+2x-3．
（2）如图1所示：连结AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．

令y=0得：x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）、B（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-3，0）、C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-3．
∴直线AC解析式为y=-x-3．
设M（x，x²+2x-3），则D（x，-x-3），则MD=-x²-3x．
∵四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积，
∴四边形AMCB的面积=$\frac{1}{2}$MD•AO+$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×（-x²-3x）×3+$\frac{1}{2}$×4×3=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+6=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$．
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S最大值为$\frac{75}{8}$，点M的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）存在，理由如下．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴抛物线的对称轴为x=-1．
如图2所示：过点M作MD⊥直线x=-1，垂足为D，设直线x=-1与x轴交于点E

∵△APM为等腰直角三角形，
∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90°．
∵∠MPD+∠PMD=90°，
∴∠PMD=∠APE．
在△APE和△PMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠PDM}\\{∠PMD=∠APE}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PMD．
∴EP=MD，AE=PD．
设点P（-1，a），点M（a-1，a-2）．
将M点代入y=x²+2x-3中，得（a-1）²+2（a-1）-3=a-2，整理得：a²-a-2=0，解得a=2或a=-1，
∵点P在x轴的下方，
∴a=-1．
∴P（-1，-1）、M（-2，-3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，列出S与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含a的式子表示点M的坐标是解答问题（3）的关键．