Question

12．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点为P（$\sqrt{6}，m$）．
（1）求k的值；
（2）将直线y=-x向上平移b（b＞0）个单位长度后，与x轴，y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点记为Q．若BQ=2AB，求b的值．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入y=-x即可求得m=-$\sqrt{6}$，然后把P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）即可求得k的值；
（2）根据题意设平移后的直线为y=-x+b，然后根据△ABO∽△AQC和BQ=2AB，求得Q点的坐标，代入y=-$\frac{6}{x}$，即可求得b．

解答 解：（1）∵直线y=-x经过P（$\sqrt{6}，m$）．
∴m=-$\sqrt{6}$，
∴P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），
∵点P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）在y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，
∴k=$\sqrt{6}$×（-$\sqrt{6}$）=-6．
（2）如图，∵直线y=-x向上平移b（b＞0）个单位长度后的解析式为y=-x+b，
∴OA=OB=b，
∵BQ=2AB，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{AB}{AQ}$=1，
作QC⊥x轴于C，
∴QC∥y轴，
∴△ABO∽△AQC，
∴$\frac{OB}{QC}$=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，或$\frac{OB}{QC}$=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{AB}{AQ}$=1，
∴点Q坐标（-2b，3b），或（2b，-b）
∴-6b²=-6或-2b²=-6，
b=±1或b=±$\sqrt{3}$，
∵b＞0，
∴b=1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标等关系，相似三角形的判定和性质，由点的坐标求函数的解析式以及平移问题．