Question

11．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AB上，以OA的长为半径的圆O与AD交于点E，
且∠ACB=∠DCE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据矩形的性质求出∠CAE=∠BCA=∠DCE，求出∠DCE+∠CED=90°，即可求出∠AEO+∠CED=90°，求出∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）首先连接EF，易证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，求得AC的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠CAD=∠OEA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，BC∥AD，
∴∠BCA=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠CAE=∠DCE，
∵∠DCE+∠CEB=180°-∠D=90°，
∴∠OEA+∠CED=90°，
∴∠OEC=180°-90°=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O与AC交于F，连接EF，
则∠AEF=90°，
∵∠B=∠D=90°，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{3}{DE}=\frac{4}{3}$，
∴DE=$\frac{9}{4}$
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵EF∥CD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴AF=$\frac{35}{16}$，
∴⊙O的半径为$\frac{35}{32}$．

点评 此题考查了切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．