Question

如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，求重叠部分（四边形AEOD）的面积．
（3）我连接的两条相交且互相垂直的线段是

 

和

 

．
理由如下：

Answer 1

分析：（1）由AD=AE，AO公共，易证Rt△ADO≌Rt△AEO，则PD=PE，得到AO⊥DE．
（2）由正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，即AD=2cm，∠GAD=30°，则∠DAE=60°，∠DAO=∠OAE=30°，在Rt△ADO中，OD=

3

3

AD=

3

3

×2=

2 3

3

，可求出S_△ADO的面积，从而得到S_{四边形AEOD}=2S_△ADO．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．理由同（1）．

解答：解：（1）连AO，DE，它们相交于P点，如图，
则AO⊥DE．理由如下：
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴∠DAO=∠EAO，
又AD=AE，
∴AO⊥DE（等腰三角形的“三线合一”）．

（2）若正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，
即AD=2cm，∠GAD=30°，
∴∠DAE=60°，
由（1）得，∠DAO=∠OAE=30°，
在Rt△ADO中，tan30°=

OD

AD

，
则OD=

3

3

AD=

3

3

×2=

2 3

3

，
∴S_△ADO=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

．
∴S_{四边形AEOD}=2S_△ADO=

4 3

3

．

（3）两条相交且互相垂直的线段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案为AO，DE．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质和含30度角的直角三角形三边关系以及三角形的面积公式．