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    10．已知，如图①，△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B、E重合），∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF．

    （1）问题发现
    ①如图①，线段OF与EC的数量关系为OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC；
    ②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图②，OF与EC的数量关系为OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC；
    （2）类比延伸
    将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明．
    （3）拓展探究
    将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD=$\sqrt{2}$，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．

    分析 （1）①判断出四边形AFOC是平行四边形，即可得出OF=AC，最后利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
    ②先判断AE=AC，进而得出$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AO}{AC}$，即可得出△AFO∽△AEC，得出比例是即可；
    （2）同（1）②的方法即可；
    （3）分两种情况利用等腰直角三角形的性质即可得出结论．

    解答 解：（1）①∵△ABC、△AED是两个全等的等腰直角三角形，
    ∴AD=BC，
    ∵O为BC的中点，F为AD的中点，
    ∴AF=OC，
    ∵∠BAC=∠AED=90°，
    ∴AD∥BC，
    ∴四边形AFOC是平行四边形，
    ∴OF=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC，
    故答案：OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC；
    ②如图，

    ∵AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
    ∵∠DAE=45°，
    ∴∠DAE=∠CAO，
    ∴∠DAE-∠EAO=∠CAO-∠EAO，
    即∠DAO=∠CAE，
    ∵AE=AC，
    ∴AF=AO，
    ∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AO}{AC}$，
    ∴△AFO∽△AEC，
    ∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC，
    故答案OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC
    （2）OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC．
    证明：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，
    ∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，
    在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，
    如图1，

    连接AO，
    ∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BAO=∠CAO=45°，
    ∵∠DAE=45°，
    ∴∠DAE=∠CAO，
    ∴∠DAE-∠EAO=∠CAO-∠EAO，
    即∠DAO=∠CAE，
    ∵AE=AC，
    ∴AF=AO，
    ∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AO}{AC}$，
    ∴△AFO∽△AEC，
    ∴$\frac{OF}{EC}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EC，
    （3）∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形，
    ∴AD=BC=$\sqrt{2}$，
    ∴ED=AE=AB=AC=1，
    △ACD为直角三角形时，分两种情况：
    ①当AD与AB重合时，如图2，

    连接CD，
    ∵△ACD为直角三角形，AD⊥AC，
    即将△ADE逆时针旋转45°，
    ∵AD=$\sqrt{2}$，AC=1，
    ∴由勾股定理可得CD=$\sqrt{（\sqrt{2}）2+12}$=$\sqrt{3}$；
    ②当AE与AC重合时，如图3，

    △ACD为直角三角形，AC⊥CD，
    即将△ADE逆时针旋转90°，此时CD=AC=1．
    即：CD的长为$\sqrt{3}$或1．

    点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解本题的关键是判断出△AFO∽△AEC是一道基础题目．

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