Question

8．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．
（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）
（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．
①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；
②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E； 
（2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE．得到PB=PE，再证明∠APE=60°，得到∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；
（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论 作出辅助线，证明△ABE≌△FQP，即可解答．

解答 解：（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E； 

（2）连接PE，如图2，

∵点M是BE的中点，PQ⊥BE
∴PQ垂直平分BE．
∴PB=PE，
∴∠PEB=∠PBE=90°-∠AEB=90°-60°=30°，
∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，
∴∠AEP=90°∠APE=90°-60°=30°，
∴BP=EP=2AP．
（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．
理由如下：
如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．

∵正方形ABCD中，AB=BC，
∴FQ=AB．
在Rt△ABE和Rt△FQP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=PQ}\\{AB=FQ}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FQP（HL）．
∴∠FQP=∠ABE=30°．
又∵∠MGO=∠AEB=60°，
∴∠GMO=90°，
∵CD∥AB．
∴∠N=∠ABE=30°．
∴NQ=2MQ．
如图4所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．

同理可证△ABE≌△FQP．
此时∠FPQ=∠AEB=60°．
又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．
∴∠EMQ=∠PMB=30°．
∴∠N=∠EMQ，
∴NQ=MQ．

点评 本题考查了正方形的性质定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．