Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线y＝﹣1上的动点，Q是抛物线线上的动点，若以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；（3）存在，点Q（﹣）．

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2，将点M的坐标代入上式，即可求解；

（2）分AC是平行四边形的一条边、AC是平行四边形对角线两种情况，分别求解即可；

（3）作点M关于直线AC的对称轴M′，连接BM′交直线AC于点P，则点P为所求，即可求解．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2，

将点M的坐标代入上式得：＝a（﹣2+1）2，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣；

（2）设点Q（m，n），则n＝﹣m2﹣m+，点P（s，﹣1），

①当AC是平行四边形的一条边时，

点C向下平移个单位得到A，

同样，点Q（P）向下平移个单位得到P（Q），

故：m﹣＝s，n+1＝﹣1，或m+＝s，n﹣1＝﹣1，且n＝﹣m2﹣m+，

解得：m＝或﹣2﹣或1或3（舍去1），

故s＝0或﹣2﹣2或﹣，

故点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；

②当AC是平行四边形对角线时，

1＝m+s，＝n﹣1，解得：方程无解；

综上，故点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；

（3）作点M关于直线AC的对称轴M′，连接BM′交直线AC于点P，则点P为所求，

连接MC，∵点M、C的纵坐标相同，故CM∥x轴，过点M′作MC的垂线交MC的延长线于点H，连接CM′，

直线AC的倾斜角为60°，则∠OCA＝∠CMM′＝30°＝∠CM′M，则CM＝2＝CM′，

则∠M′CH＝60°，故CH＝CM′＝1，则M′H＝，故点M′为（1，2）；

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线AC的表达式为：y＝﹣x+；

同理直线BM′的表达式为：y＝x+；

联立AC、BM′的函数表达式并解得：x＝﹣ ，

故点Q（﹣）．