Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC得出∠OAD=∠OEB，然后结合题意可证明△ADO≌△EBO，从而可得AD=EB，这样结合AB=AD即可判断出四边形ABED是菱形．
（2）根据四边形ABCD是菱形，得出AD=DE=BE，在RT△CDE中，由勾股定理得DE，然后利用梯形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，
又∵AB=AD，AO⊥BD，
∴OB=OD，
又∵∠AOD=∠EOB，
∴△ADO≌△EBO（AAS），
∴AD=EB，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=AD
∴四边形ABED是菱形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DE=BE，
在RT△CDE中，由勾股定理得
DE²=CD²+CE²=4²+3²=25，
∴DE=5，
∴AD=BE=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×4×(5+8)=26cm2．

点评：本题考查了梯形、勾股定理及菱形判定的知识，属于综合性题目，有一定难度，对于此类题目，一定要熟记①梯形的上底平行于下底，②有一组邻边相等的平行四边形是菱形．