Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A和点B，且点O₁在⊙O₂上，过点A的直线CD分别与⊙O₁、⊙O₂交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O₁、⊙O₂交于点E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求证：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠ABE+∠C=180°．
又四边形ABFD是⊙O₂的内接四边形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴∠C+∠ADF=180°．
∴CE∥DF；

（2）连接O₁B，则O₁A=O₁B．
∴∠O₁AB=∠O₁BA．
又∵∠O₁BA=∠O₁DA，
∴∠O₁AP=∠O₁DA．
又∵∠AO₁P=∠DO₁A，
∴△AO₁P∽△DO₁A．
∴．
∴O₁A²=O₁D•O₁P．
分析：（1）要证明CE∥DF，根据平行线的判定，证明同旁内角互补即可，可以借助圆的内接四边形角与角的关系；
（2）欲证O₁A²=O₁P•O₁D，可证△AO₁P∽△DO₁A得出．
点评：考查了平行线的判定，圆的内接四边形的性质，圆周角定理．
能够把线段乘积的形式转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．