Question

【题目】在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．

（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．

①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：

ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与 全等，判定它们全等的依据是 ；

ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出 °；

②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程．

（2）如图2，若 ，求证：．

Answer 1

【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）先得出结论；
①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；
②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；
（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．

（1）

①如图1，在上取一点，使，

ⅰ）是的平分线，

，

在和中，，

；

ⅱ），是的两条角平分线，

，，

在中，，

，

，

，

；

故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；

②由①知，，，

，

∵，

，

，

，

是的平分线，

，

在和中，

，

，

；

（2）如图2，在中，，，

，

，是的两条角平分线，

，，

，，

，

在的边左侧作，交的延长线于，

．

，

，

，

，

，

在和中，，

，

．