Question

6．设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=$\frac{1}{2}$（a+b+c），则有下列面积公式：
S=$\sqrt{P（P-a）（P-b）（P-c）}$（海伦公式）；
S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$、$\sqrt{7}$，利用两个公式分别求这个三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．

解答 解：（1）P=$\frac{1}{2}$×（5+6+7）=9，
S=$\sqrt{P（P-a）（P-b）（P-c）}$=$\sqrt{9×4×3×2}$=6$\sqrt{6}$；
S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{b}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$=$\sqrt{\frac{1}{4}[3{0}^{2}-（\frac{25+36-49}{2}）^{2}]}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×36×24}$=6$\sqrt{6}$；
（2）P-a=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）-$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$），
同理P-b=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$），
P-c=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$-$\sqrt{7}$），
所以，S²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$）×$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$）×$\frac{1}{2}$[$\sqrt{5}$-（$\sqrt{6}$-$\sqrt{7}$）][$\sqrt{5}$+（$\sqrt{6}$-$\sqrt{7}$）]
=$\frac{1}{16}$×（8+2$\sqrt{42}$）（-8+2$\sqrt{42}$）
=$\frac{1}{16}$×（168-64），
=$\frac{13}{2}$．
S=$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
S=$\sqrt{\frac{1}{4}[30-（\frac{5+6-7}{2}）^{2}]}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（30-4）}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$

点评 本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用平方差公式计算．