Question

【题目】如图，P是正三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P'AB．给出下列四个结论：①PP'＝6，②AP2+BP2＝CP2，③∠APB＝150°；④S△ABC＝36+25．正确结论个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′，由勾股定理逆定理可求△PP'B是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，可得∠P'PB＝90°，可得∠APB＝150°，过点A作AD垂直BP于点D，算出AD、PD，再用勾股定理算出AB，然后用公式直接求出面积．

解：连接PP′，过点A作AD⊥BP于点D，如图，

由旋转性质可知，△APC≌△AP'B，

∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10，

∵∠P'AP＝60°，

∴△APP'是等边三角形，

∴PP'＝AP＝6，故①正确；

∵PB＝8，

∴P'B2＝PB2+P'P2，

∴△PP'B是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，故②正确

∴∠P'PB＝90°，

∵∠P'PA＝60°，

∴∠APB＝150°，故③正确；

∴∠APD＝30°，

∴AD＝AP＝3，PD＝3，

∴BD＝8+3，

在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝100+48，

∴S△ABC＝AB2＝36+25，故④正确．

故选：D．