Question

7．△ABC和点S都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长为1．
（1）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形△A₁B₁C₁；
（2）求弧BB₁的长；
（3）请求出△ABC旋转到△A₁B₁C₁扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°得到△A₁B₁C₁，由旋转的性质可得AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，AC=A₁C₁，SC⊥SC₁，SB⊥SB₁，SA⊥SA₁，可画出旋转后的△A₁B₁C₁；
（2）由弧长的公式即可求出；
（3）由勾股定理求出AS=$\sqrt{{5}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，CS=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，然后根据面积计算公式即可得出结果．

解答 解：（1）∵△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°得到△A₁B₁C₁
∴AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，AC=A₁C₁，SC⊥SC₁，SB⊥SB₁，SA⊥SA₁，
故可画出旋转后的△A₂B₂C₂，如图所示；

（2）∵BS=$\sqrt{{3}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴弧BC的长=$\frac{90•π•\sqrt{13}}{180}$=$\frac{\sqrt{13}π}{2}$，

（3）∵AS=$\sqrt{{5}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，CS=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABC扫过面积=S_△ABC${+S}_{扇形A{SA}_{1}}$${-S}_{扇形C{SC}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×2$$+\frac{90•{π（\sqrt{26}）}^{2}}{360}$-$\frac{90•π{•（\sqrt{5}）}^{2}}{360}$=3+$\frac{21}{4}$π．

点评 本题考查了图形的变换-旋转，弧长、三角形的面积、扇形的面积的计算方法，熟记面积计算公式是解题的关键．