Question

如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则将N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴抛物线的解析式：。
（2）存在。过点N作NC⊥OA于C，
由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA•sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①当MN=AN时，，即t²﹣8t+12=0，解得t₁=2，t₂=6（舍去）。
②当MN=MA时，，即，解得t₁=0（舍去），t₂=。
③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=。
综上所述，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形。

解析