[题目]以四边形ABCD的边AB.AD为底边分别作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.(1)当四边形ABCD为正方形时.以边AB.AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF.连接BF.ED.线段BF和ED的数量关系是 ,(2)当四边形ABCD为矩形时.以边AB.AD为斜边分别向矩形内侧.外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF.连接EF.BD.线段EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接BF、ED，线段BF和ED的数量关系是_____________；

（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；

（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABE和等腰△ADF，且△ABE和△ADF的顶角均为，连接EF、BD，交点为G.请用表示出∠FGD，并说明理由.

【答案】BF=ED ; （2）,证明见解析;（3）.

【解析】分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF，可得AE=BE=AF=FD，再证∠EAD=∠FAB，利用SAS证明△AED≌△AFB，即可得BF=ED；（2）EF=BD，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD∽△EAF，根据相似三角形的性质可得，所以BD=EF；（3）∠FGD=，先证得△ABE∽△ADF，可得，即，再证得∠BAD=∠EAF，所以△BAD∽△EAF，因为 ∠AHF=∠DHG，即可得∠FGD=∠FAD=.

详解：

（1）BF=ED；

（2）EF=BD；

证明：如图②，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，∠EAB=45°

同理，∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD，

即∠BAD=∠EAF，∵AB=AE，AD=AF

∴，∴△BAD∽△EAF，

∴，即BD=EF；

（3）解：∠FGD=，

如图，

∵△ABE为等腰三角形，EB=EA，同理FA=FD，

∴，

又∵∠BEA=∠DFA=，

∴△ABE∽△ADF，

∴，即，

∠EAB+∠EAD=∠DFA+∠EAD，即∠BAD=∠EAF，

∴△BAD∽△EAF，

又∵∠AHF=∠DHG,

∴∠FGD=∠FAD=.

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