Question

如图CE是等边三角形ABC边AB边上的高，AB=4，DA⊥AB，DA=

3

，BD与CE、CA分别交于点F、M．
（1）求CF的长；
（2）求△ABM的面积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半可求得EF的长，则CF的长可求；
（2）由（1）中过程可知△ADM∽△CFM，根据相似比可求出AM的长，过点M作MN⊥AB于N，在Rt△AMN中可求出高MN的长，则△ABM的面积可求解．

解答：解：（1）∵CE是等边三角形ABC边AB上的高，
∴E是AB的中点，
∵DA⊥AB，∴CE∥DA，
∵DA=

3

，∴EF=

1

2

AD=

3

2

，
∴AB=4，∴CE=2

3

，
∴CF=CE-EF=

3 3

2

；

（2）如图，过点M作MN⊥AB于点N，
∵△ADM∽△CFM，∴

AM

MC

=

AD

CF

=

2

3

，
∴

AM

AC

=

2

5

，
∴AM=

2

5

AC=

8

5

，
在Rt△AMN中，
∵AM=

8

5

，∠MAB=60°，
∴MN=AM•sin60°=

4 3

5

，
∴S_△ABM=

1

2

AB•MN=

8 3

5

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的性质及相似三角形的性质及判定．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．