Question

如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：
（1）AC是⊙O的切线．
（2）HC=2AH．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．
解答：证明：（1）∵∠ADE=90°，
∴AE为⊙O的直径，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，
∴∠EAC=45°+45°=90°，
∴AC⊥AE，
∴AC是⊙O的切线；

（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△CEH，
∴AH：CH=AB：ED，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=ED，
而AD=AB=DC，
∴EC=2AB，
∴AH：CH=1：2，
即HC=2AH．
点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．