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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
    （1）若点D是BC的中点，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
    （2）若点D是BC的中点，试证明
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ；
    （3）若点D是BC上任意一点，试证明
    AM
    AB
    +
    AN
    AC
    =
    AP
    AD
    ．
    分析：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
    （2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ；
    （3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得
    AM
    AE
    =
    AP
    AD
    ，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得
    AE
    AB
    =
    CD
    BC
    ，继而求得
    AM
    AB
    +
    AN
    AC
    =
    AP
    AD
    ．
    解答：解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，精英家教网
    ∵点D为BC中点，
    ∴点E是AB中点，且
    AM
    AE
    =
    AP
    AD
    ，（2分）
    ∴
    AM
    AB
    =
    AM
    2AE
    =
    1
    3
    ；（1分）

    （2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
    则四边形ABQC是平行四边形．（1分）
    ∴PM∥BQ，PN∥CQ，
    ∴
    AM
    AB
    =
    AP
    AQ
    ，
    AN
    AC
    =
    AP
    AQ
    （2分）
    ∴
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ；（1分）精英家教网
    （注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）

    （3）过点D作DE∥PM交AB于E，
    ∴
    AM
    AE
    =
    AP
    AD
    ，（1分）
    又∵PM∥AC，
    ∴DE∥AC
    ∴
    AE
    AB
    =
    CD
    BC
    ，（1分）
    ∴
    AM
    AB
    =
    AM
    AE
    ×
    AE
    AB
    =
    AP
    AD
    ×
    CD
    BC
    （1分）
    同理可得：
    AN
    AC
    =
    AP
    AD
    ×
    BD
    BC
    （1分）
    ∴
    AM
    AB
    +
    AN
    AC
    =
    AP
    AD
    ×(
    CD
    BC
    +
    BD
    BC
    )=
    AP
    AD
    ．（1分）
    （注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
    点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
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    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

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