已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE=PD总成立.
(1)如图,当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明);
(2)如图,当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图,当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)
(1)①PE=PB,②PE⊥PB.(2分) (2)(1)中的结论成立. ①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线, ∴CD=CB,∠ACD=∠ACB.(3分) 又PC=PC, ∴△PDC≌△PBC.(4分) ∴PD=PB.(5分) ∵ PE=PD, ∴PE=PB.(6分) ②法一:由①,得△PDC≌△PBC. ∴∠PDC=∠PBC.(7分) 又PE=PD, ∴∠PDE=∠PED.(8分) ∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°. ∴∠EPB=360°-(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°.(9分) ∴PE⊥PB.(10分) 法二:过点P作PM∥BC交CD的延长线于点M, 过点P作PN∥DC交CB的延长线于点N. ∴四边形PMCN为平行四边形. 又∠MCN=90°, ∴四边形PMCN为矩形. ∵∠MCA=∠NCA, ∴四边形PMCN为正方形. ∴MP=NP,∠NPM=90°.(8分) 又由①,得PE=PB. ∴Rt△PEM≌Rt△PBN.(9分) ∴∠MPE=∠NPB. ∴∠EPB=∠MPE+∠MPB=∠NPB+∠MPB=∠NPM=90°. ∴PE⊥PB.(10分) 法三:过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M, 过点P作PN⊥BC交CB的延长线于点N. 又∠MCN=90°, ∴四边形PMCN为矩形. 又∠MCA=∠NCA, ∴四边形PMCN为正方形. ∴MP=NP,∠NPM=90°. 又由①,得PB=PE, ∴Rt△PEM≌Rt△PBN. ∴∠MPE=∠NPB. ∴∠EPB=∠MPE+∠MPB=∠NPB+∠MPB=∠NPM=90°. ∴PE⊥PB. 法四:过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M,延长BA交PM于点F,易得四边形FMCB为矩形. ∴∠BFM=90°. ∴∠MPB+∠PBF=90°. ∵PE=PD,AD∥MP, ∴∠EPM=∠DPM=∠ADP. 由①,得△PDA≌△PBA. ∴∠EPB=∠MPB+∠EPM=∠MPB+∠PBA=90°. ∴PE⊥PB. 法五:过点P作PM⊥DC交CD的延长线于点M. ∴PM∥BC. ∴∠MPB+∠PBC=180°. ∵∠ABC=90°, ∴∠MPB+∠PBA=90°. ∵PE=PD,AD∥MP, ∴∠EPM=∠DPM=∠ADP. 由①,得△PDA≌△PBA, ∴∠PBA=∠ADP=∠EPM. ∴∠EPB=∠MPB+∠EPM=∠MPB+∠PBA=90°. ∴PE⊥PB. (3)正确画出图形.(12分) 结论:①PE=PB,②PE⊥PB.(14分) |
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