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如图,ABCD为直角梯形(∠B=∠C=90°),且AB=BC,若在边BC上存在一点M,使得△AMD为等边三角形,则
CD
AB
的值为
 
考点:直角梯形,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理
专题:
分析:首先过点D作DH⊥AB于H,易得四边形DHBC是矩形,即可得DH=BC=AB,BH=DC,然后设CD=x,AB=BC=DH=y,CM=z,在Rt△CDM,Rt△ABM,Rt△ADH中,由勾股定理可得方程组:x2+z2=y2+(y-z)2,y2+(y-z)2=y2+(y-x)2,即可得x2=2y2-2yx,然后方程两边同除以y2,即可得方程(
x
y
2+
2x
y
-2=0,解此方程即可求得
CD
AB
的值.
解答:解:过点D作DH⊥AB于H,
则∠DHA=90°,
∵∠B=∠C=90°
∴四边形DHBC是矩形,
∴DH=BC,BH=DC,
∵BC=AB,
∴DH=BC=AB,
设CD=x,AB=BC=DH=y,CM=z,
在Rt△CDM,Rt△ABM,Rt△ADH中,
DM2=CD2+CM2,①
AM2=AB2+BM2,②
AD2=AH2+DH2,③
当DM=AM=AD时,△AMD为等边三角形,
则CD2+CM2=AB2+BM2
AB2+BM2=AH2+DH2
即x2+z2=y2+(y-z)2④,
y2+(y-z)2=y2+(y-x)2⑤,
化简④得:x2=2y2-2yz,
化简⑤得:x=z,
∴x2=2y2-2yx,
即(
x
y
2+
2x
y
-2=0,
解得:
x
y
=
3
-1,
x
y
=-
3
-1(舍去).
CD
AB
的值为
3
-1.
点评:此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、等边三角形的性质以及方程组的应用.此题难度较大,解题的关键是作出辅助线,利用勾股定理得方程组,化简求得(
x
y
2+
2x
y
-2=0是解此题的关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图是某中学生公寓时的一个示意图(每栋公寓均朝正南方向,且楼高相等,相邻两栋公寓的距离也相等).已知该地区冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°,在公寓的采光不受影响(冬季正午最底层受到阳光照射)的情况下,公寓的高为AB,相邻两公寓间的最小距离为BC.
(1)若设计公寓高为20米,则相邻两公寓之间的距离至少需要多少米时,采光不受影响?
(2)该中学现已建成的公寓为5层,每层高为3米,相邻两公寓的距离24米,问其采光是否符合要求?
(参考数据:取sin32°=
53
100
,cos32°=
106
125
,tan32°=
5
8

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,若∠AOC=116°,则∠D的读数为(  )
A、64°B、58°
C、32°D、29°

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科目:初中数学 来源: 题型:

解方程:
(1)用配方法解方程:x2+12x+27=0
(2)解方程:2(x+3)2=x(x+3)

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科目:初中数学 来源: 题型:

两圆的直径分别为4和6,圆心距为10,则两圆的位置关系为(  )
A、外离B、外切C、相交D、内切

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,A、B、C三点在⊙O上,∠C=30°,则△OAB是
 
三角形.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距12m的F处,由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°,底部B的仰角为45°,小明的观测点E与地面的距离EF为1.6m.
(1)求建筑物BC的高度;
(2)求旗杆AB的高度.
(注:结果精确到0.1m,参考数据:
2
≈1.41,
3
≈1.73)

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今年在全市中小学中开展了孝敬教育的教育活动,各中小学结合学生实际,开展了形式多样的感恩教育活动.下面图①,图②分别是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和条形统计图.根据图上信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查学生的人数,并补全条形统计图;
(2)若全校共有2700名学生,你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日?
(3)通过对以上数据的分析,你有何感想?(用一句话回答)

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