Question

19．如图，已知，等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P在BC上（与B，C不重合），作PE⊥AB，垂足是E，PF⊥BC，交AC于F，设PC=x，△PEF面积为y．
（1）找出图中的相似三角形并加以证明．
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）若△PEF为等腰三角形，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据垂直的定义得到∠BEP=∠CPF=90°，于是得到结论；
（2）如图1，过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AB于G，过F作FQ⊥AE于Q，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=3，AH=4，根据平行线分线段成比例定理得到PF=$\frac{4}{3}$x，CF=$\frac{5}{3}$x，求得AF=5-$\frac{5}{3}$x，根据三角形的面积公式得到CG=$\frac{24}{5}$，根据勾股定理得到BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，根据平行线分线段成比例定理得到BE=$\frac{18-3x}{5}$，PF=$\frac{24-4x}{5}$，FQ=$\frac{18-6x}{5}$，根据图形的面积公式即可得到结论；
（3）①当PE=PF时，过A作AD⊥BC于D，根据全等三角形的性质得到PB=CF，设PE=PF=x，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当EF=EP时根据相似三角形的性质即可得到结论；③当EF=FP时，过F作FM⊥EP于M，设PC=x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△BEP∽△CPF，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP=∠CPF=90°，
∴△BEP∽△CPF；

（2）如图1，过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AB于G，过F作FQ⊥AE于Q，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=CH=3，AH=4，
∵FP⊥BC，
∴FP∥AH，
∴$\frac{PC}{CH}=\frac{FP}{AH}=\frac{CF}{AC}$，
∵PC=x，
∴PF=$\frac{4}{3}$x，CF=$\frac{5}{3}$x，
∴AF=5-$\frac{5}{3}$x，
∵AB•CG=CB•AH，
∴CG=$\frac{24}{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵PE⊥AB，
∴CG∥PE，
∴$\frac{BE}{\frac{18}{5}}$=$\frac{PE}{\frac{24}{5}}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴BE=$\frac{18-3x}{5}$，PF=$\frac{24-4x}{5}$，
∵FQ∥CG，
∴$\frac{FQ}{CG}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴FQ=$\frac{18-6x}{5}$，
∴y=S_△ABC-S_△BEP-S_△CPF-S_△AEF=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{18-3x}{5}$×$\frac{24-4x}{5}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{3}$x•x-$\frac{1}{2}$×$\frac{18-6x}{5}$×$\frac{3x-7}{5}$，
∴y=-$\frac{16}{25}$x²$+\frac{72}{25}$x-$\frac{159}{25}$，（0＜x＜6）；

（3）①当PE=PF时，如图2，过A作AD⊥BC于D，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CD=3，AD=4，
在△PBE与△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠FPC=90°}\\{∠B=∠C}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCF，
∴PB=CF，
设PE=PF=x，
∵PF⊥BC，
∴AD∥PF，
∴△CFP∽△CAD，
∴$\frac{FP}{AD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴PC=$\frac{3}{4}$x，CF=$\frac{5}{4}$x，
∴PC+CF=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$x=6，
∴x=3，
∴CP=$\frac{9}{4}$；
②当EF=EP时，∠EPF=∠EFP，
∵∠FPB=∠BEP=90°，
∴∠FPE+∠EPB=∠B+∠EPB=90°，
∴∠B=∠FPE，
∴∠EFP=∠C，
∴△EFP∽△ABC，
设CP=x，则PF=$\frac{4}{3}$x，EP=$\frac{4}{5}$（6-x），
∴$\frac{PE}{AB}$=$\frac{FP}{AB}$，即$\frac{\frac{4}{5}（6-x）}{5}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{6}$，
∴x=$\frac{108}{43}$，
∴CP=$\frac{108}{43}$；
③当EF=FP时，过F作FM⊥EP于M，设PC=x，
∵∠FPE+∠EPD=∠EPD+∠B=90°，
∴∠FPE=∠B=∠C，
∴△FMP∽△ADC，
∴$\frac{FP}{PM}$=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{5}{3}$
∴$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{2}{5}（6-x）}$=$\frac{5}{3}$，
∴x=2，
∴PC=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．