Question

7．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=$\frac{1}{2}$．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
（2）当点D在线段AB上时，连结AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．

Answer 1

分析 （1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=$\frac{16}{3}$，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=$\frac{1}{4}$t²，当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，S=-$\frac{3}{4}$t²+8t-16，当$\frac{16}{3}$＜t＜8时，S=$\frac{3}{4}$t²-12t+48；
（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP的长，分AP=PQ、AQ=PQ、AQ=PQ、AP=AQ四种情况列出方程，求出方程的解即可；
（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S_{四边形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=$\frac{1}{2}$×CP×AP=8．

解答 解：（1）当0＜t≤4时，S=$\frac{1}{4}$t²．
当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，S=-$\frac{3}{4}$t²+8t-16．
当$\frac{16}{3}$＜t＜8时，S=$\frac{3}{4}$t²-12t+48．

（2）存在，理由如下：
当点D在线段AB上时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=45°．
∵PD⊥BC，
∴∠BPD=90°，∴∠BDP=45°．
∴PD=BP=t，
∴QD=PD=t，
∴PQ=QD+PD=2t．
如图1，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=4，AH=BH=4，
∴PH=BH-BP=4-t．
在Rt△APH中，AP=$\sqrt{A{H^2}+P{H^2}}=\sqrt{{t^2}-8t+32}$．
（ⅰ）若AP=PQ，则有$\sqrt{{t^2}-8t+32}$=2t．
解得：t₁=$\frac{{4\sqrt{7}-4}}{3}$，t₂=$\frac{{-4\sqrt{7}-4}}{3}$（不合题意，舍去）．
（ⅱ）若AQ=PQ，如图1，过点Q作QG⊥AP于点G．
∵∠BPQ=∠BHA=90°，
∴PQ∥AH．
∴∠APQ=∠PAH．
∵QG⊥AP，
∴∠PGQ=90°，
∴∠PGQ=∠AHP=90°，
∴△PGQ∽△AHP．
∴$\frac{PG}{AH}=\frac{PQ}{AP}$，即$\frac{PG}{4}=\frac{2t}{{\sqrt{{t^2}-8t+32}}}$，
∴PG=$\frac{8t}{{\sqrt{{t^2}-8t+32}}}$．
若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=$\frac{1}{2}$AP，
即$\frac{8t}{{\sqrt{{t^2}-8t+32}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t^2}-8t+32}$．
解得：t₁=12-$4\sqrt{7}$，t₂=12+$4\sqrt{7}$（不合题意，舍去）．
（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T．
易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．
若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，
即PT=$\frac{1}{2}$PQ，即4=$\frac{1}{2}$×2t．
解得t=4．
当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．
综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t₁=$\frac{{4\sqrt{7}-4}}{3}$秒或t₂=（12-$4\sqrt{7}$）秒．

（3）四边形PMAN的面积不发生变化．
理由如下：∵等腰直角三角形PQE已知，
∴∠EPQ=45°．
∵等腰直角三角形PQF已知，
∴∠FPQ=45°．
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°．
连结AP，如图2．
∵此时t=4秒，
∴BP=4×1=4=$\frac{1}{2}$BC，
∴点P为BC的中点．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°．
∴∠APC=90°，∠C=45°．
∴∠C=∠BAP=45°．
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，
∠EPF=∠APM+∠APN=90°，
∴∠CPN=∠APM．
∴△CPN≌△APM．
∴S_△CPN=S_△APM．
∴S_{四边形PMAN}=S_△APM+S_△APN=S_△CPN+S_△APN=S_△ACP=$\frac{1}{2}$×CP×AP=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．

点评 本题考查了三角形面积，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．