Question

【倾听理解】在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片断：

【问题解决】
（1）填空：图②中，小苏发现的

MN

PN

=

 

；
（2）记图①、图②中MN为d₁、d₂，分别求出d₁、d₂与m之间的函数关系式．
【拓广探索】
（3）如图③，直线x=m（m＞0）分别交x轴、抛物线y=x²-3x和y=x²-4x于点P、N、M．设A、B为两抛物线y=x²-3x、y=x²-4x与x轴的另一交点．当m为何值时，线段OP、PM、PN、MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时由A、B、M、N四个点围成的四边形图形的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，则

MN

PN

值可求出；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值，利用梯形的性质即可求出其面积．

解答：解：（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为

2

m

，N点的纵坐标为

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1 m

2 m

=

1

2

，
故答案为：

1

2

；
（2）如图①，易知M（m，3m）、N（m，2m）、P（m，0），
∴PM=3m，PN=2m，故d₁=PM-PN=m．
如图②，易知M（m，

3

m

）、N（m

2

m

）、P（m，0），
∴PM=

3

m

，PN=

2

m

，
故d₂=PM-PM=

1

m

．
（3）如图③，据题设可得M（m，m²-4m）、N（m，m²-3m）、P（m，0），
∵m＞0，∴OP=m，PM=|m²-4m|=m|m-4|，PN=|m²-3m|=m|m-3|，MN=（m²-3m）-（m²-4m）=m．
因而有，m|m-4|=m或m|m-3|=m，
∴m=5或m=3（不合题意），
或者m=2或m=4（不合题意）．
而又据题意可得A（3，0）、B（4，0），
∴当m=5时，PA=2，PB=1，PN=10，PM=5，
此时，S_{四边形ABMN}=S_△PAN-_S△PBM=

1

2

×10×2-

1

2

×5×1=7.5；
当m=2时，PA=1，PB=2，PN=2，PM=4，
此时，S_{四边形ABMN}=S_△PBM-_S△PAN=

1

2

×4×2-

1

2

×2×1=3．

点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的各种性质以及等边三角形的性质和梯形的面积公式的，以及分类讨论的数学思想的运用，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求很高．