Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OF，根据圆心角、弧、弦的关系，由$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$得到∠AOF=∠COF=∠BOC=60°，则可判断△AOF为等边三角形，得到∠AOF=∠AFO=60°，再证明OC∥AD，加上CD⊥AD，所以OC⊥CD，于是根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线；
（2）作OH⊥AD于H，如图，先得到四边形OCDH为矩形，则OH=CD=2$\sqrt{3}$，再在Rt△OCH中利用余弦的定义可计算出OF=4，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式，利用阴影部分的面积=S_扇形AOF-S_△AOF进行计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，OF，如图，
∵AB是⊙O的直径，$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠AOF=∠COF=∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
而OF=OA，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠AOF=∠AFO=60°，
∴∠AFO=∠COF，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，
则四边形OCDH为矩形，
∴OH=CD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCH中，∵∠HFO=60°，
∴sin∠HFO=$\frac{OH}{OF}$，即OF=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴阴影部分的面积=S_扇形AOF-S_△AOF
=$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²
=$\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的面积计算．