Question

5．如图，抛物线y=-$\frac{4}{9}$（x-2）²+4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD．
（1）判断△PAD能否为直角三角形？若能，求m的值；若不能，说明理由；
（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）不存在，不妨设△PAD是直角三角形，过点P作PQ⊥AD于Q，可以推出AD=2PQ，列出方程，推出矛盾即可解决问题．
（2）首先判断只存在△CAF∽△PAD这种情形，如图2中，过点C作CM⊥x轴于点M，点A作AN⊥CF于点N，过点A作AG⊥PD于点G，先求出点F坐标，设PG=3x，则AG=4x，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则-$\frac{4}{9}$（x-2）²+4=0，
解得x=-1或5，
∴A（-1，0），B（5，0），C（2，4），
如图1中，过点P作PQ⊥AD于Q，根据对称性可知PA=PD，
∴△PAD是等腰三角形，
设D（5-m，0），则Q（$\frac{4-m}{2}$，0），
∴P（$\frac{4-m}{2}$，-$\frac{1}{9}$m²+4），
若△PAD是直角三角形，则△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，
∴AD=2PQ，
∴（5-m）+1=2（-$\frac{1}{9}$m²+4），
整理得2m²-9m-18=0，
解得m=6或m=-$\frac{3}{2}$，
∵m＞0，
∴m=6，
当m=6时，P（-1，0）与点A重合，故舍弃．
∴△PAD不能成为直角三角形．
（2）由（1）可知，△PAD是等腰三角形，连接AC，则∠CAD＜∠PAD=∠PDA，
∵CE∥AD，
∴∠FCA=∠CAD＜∠PAD=∠PDA，
∴以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似，只存在△CAF∽△PAD这种情形，
∴$\frac{CA}{CF}$=$\frac{PA}{PD}$=1，
∴CA=CF，
如图2中，过点C作CM⊥x轴于点M，则点M（2，0），
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=5，
∴CF=5，
∴F（-3，4），
过点A作AN⊥CF于点N，则点N（-1，0）．
过点A作AG⊥PD于点G，则∠APG=∠ACN，
∴tan∠APG=tan∠ACN=$\frac{CN}{AN}$=$\frac{4}{3}$，
设PG=3x，则AG=4x，
∴AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=5x，
∴DG=5x-3x=2x，
∴AD=$\sqrt{D{G}^{2}+A{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$•AD•PQ=$\frac{1}{2}$•PD•AG，
∴PQ=2$\sqrt{5}$x=AD，
∴-$\frac{1}{9}$m²+4=5-m+1，
整理得m²-9m+18=0，
解得m=3或m=6．
当m=6时，P（-1，0）与点A重合，故舍弃，
∴m=3．

点评 本题考查二次函数综合题、平移、相似三角形的判定和性质、直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，利用相似三角形性质、面积法、勾股定理构建方程解决问题，属于中考压轴题．