分析 (1)由抛物线顶点为(4,1),可设出其顶点式y=a(x-4)2+1,将C点(6,0)代入其中即可求得a的值;
(2)设出P点坐标(m,-$\frac{1}{4}$m2+2m-3),用含m的多项式来表示出△PAC面积,根据解极值问题即可得出△PAC的面积取最大值时P点的坐标,以及最大面积值;
(3)如图做好辅助线,借助于相似三角形的比例关系求出C到直线BD的距离,再与⊙C半径进行比较,即可得出结论.
解答 (1)解:∵抛物线的顶点为(4,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x-4)2+1.
∵抛物线经过点C(6,0),
∴0=a(6-4)2+1,解得a=-$\frac{1}{4}$,
∴y=-$\frac{1}{4}$(x-4)2+1=-$\frac{1}{4}$x2+2x-3.
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+2x-3.
(2)解:如图1,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q,
∵A(0,-3),C(6,0),
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3.
设P点坐标为(m,-$\frac{1}{4}$m2+2m-3),
则Q点的坐标为(m,$\frac{1}{2}$m-3),
∴PQ=-$\frac{1}{4}$m2+2m-3-($\frac{1}{2}$m-3)=-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{3}{2}$m,
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=$\frac{1}{2}$×(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{3}{2}$m)×6=-$\frac{3}{4}$(m-3)2+$\frac{27}{4}$,
∴当m=3时,△PAC的面积最大为$\frac{27}{4}$.
∵当m=3时,-$\frac{1}{4}$m2+2m-3=$\frac{3}{4}$,
∴P点坐标为(3,$\frac{3}{4}$).
综上:P点的位置是(3,$\frac{3}{4}$),△PAC的最大面积是$\frac{27}{4}$.
(3)判断直线BD与⊙C相离.
证明:令-$\frac{1}{4}$(x-4)2+1=0,解得x1=2,x2=6,
∴B点坐标(2,0).
又∵抛物线交y轴于点A,
∴A点坐标为(0,-3),
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$.
设⊙C与对称轴l相切于点F,则⊙C的半径CF=2,
作CE⊥BD于点E,如图2,则∠BEC=∠AOB=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠CBE=90°-∠ABO.
又∵∠BAO=90°-∠ABO,
∴∠BAO=∠CBE.
∴△AOB∽△BEC,
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$,
∴$\frac{CE}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{13}}$,
∴CE=$\frac{8}{\sqrt{13}}$>2.
∴直线BD与⊙C相离.
点评 本题考查了二次函数的综合运用、相似三角形的判定及性质等知识,解题的关键:(1)利用顶点设出顶点式,再由点在抛物线上即可求出抛物线的解析式;(2)利用配方法解决极值问题;(3)利用相似三角形的性质,找到边与边的关系,求出CE后再与半径进行比较.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -a-b | B. | 2a+b | C. | a-b | D. | -a-2b |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com