Question

【题目】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°．求证：

（1）BC=CD；

（2）2AE=AB+AD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF＝CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；

（2）由（1）中的全等得：DF＝BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE＝AF，根据线段的和与差得出结论．

证明：（1）过C作CF⊥AD于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∴CF＝CE，

∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°，

∴∠CBE＝∠FDC，

在△FDC和△EBC中，

∵，

∴△FDC≌△EBC（AAS），

∴CD＝BC；

（2）∵△FDC≌△EBC，

∴DF＝BE，

在Rt△AFC和Rt△AEC中，

∵，

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），

∴AF＝AE，

∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．