Question

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→B→A直线运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发$\frac{1}{2}$秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，由题意得出PC=1cm，则BP=BC-PC=2cm，由勾股定理求出AP，即可得出△ABP的周长；
（2）分三种情况：①当PC=PB时，点P在BC的垂直平分线上，则P为AB的中点，得出2t=3+2.5，解方程即可；
②当BP=BC=3cm时，2t=3+3，解方程即可；
③当CP=CB时，作CD⊥AB于D，由三角形的面积关系求出CD，由勾股定理求出BD，得出BP，由题意得出2t=3+$\frac{18}{5}$，解方程即可；
（3）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
当t=$\frac{1}{2}$s时，PC=1cm，
∴BP=BC-PC=2cm，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{17}$（cm），
∴△ABP的周长=AB+PA+BP=5+$\sqrt{17}$+2=7+$\sqrt{17}$（cm）；
（2）分三种情况：
①当PC=PB时，点P在BC的垂直平分线上，
则P为AB的中点，如图1所示：
∴BP=2.5，
∴2t=3+2.5，
解得：t=$\frac{11}{4}$；
②当BP=BC=3cm时，如图2所示：
2t=3+3，
解得：t=3；
③当CP=CB时，作CD⊥AB于D，
如图3所示：
则CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$（cm），
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$cm，
∴BP=2BD=$\frac{18}{5}$cm，
∵2t=3+$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{33}{10}$；
综上所述：t=$\frac{11}{4}$s，或t=3s，或t=$\frac{33}{10}$s时，△BCP为等腰三角形；
（3）由题意得：
P、Q相遇前：t+2t=$\frac{3+4+5}{2}$，
解得：t=2，
P、Q相遇后：t+2t-（3+4+5）=$\frac{3+4+5}{2}$，
解得：t=6，
，即t=2s或6s时，线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积的计算方法等知识；本题有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．