Question

已知方程组

y2=4x y=2x+a

有两个实数解为

x=x1 y=y 1

和

x=x2 y=y2

且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，设b=

1

x1

+

1

x2

，
（1）求a的取值范围；
（2）试用关于a的代数式表示出b；
（3）是否存在b=3的a的值？若存在，就求出所有这样的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,列代数式,根的判别式

专题：综合题

分析：（1）把y=2x+a代入y²=4x中，得到关于x的方程：4x²+（4a-4）x+a²=0③，又知原方程组有两组实数解，且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，故此方程有不等的两实数正根，根据根的判别式可知△＞0，结合方程③中根与系数的关系，可得x₁+x₂=-

4a-4

4

＞0④，x₁x₂=

a2

4

＞0⑤，三式联合可求出a的取值范围；
（2）对b的右边进行，把④⑤代入，即可求⑥；
（3）把b=3代入⑥，解关于a的一元二次方程，结合（1）中a的取值范围，即可求a．

解答：解：（1）∵y²=4x①，y=2x+a②，
把②代入①得
4x²+（4a-4）x+a²=0③，
又∵原方程组有两组实数解，且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，
∴③就有两个不等的实数正根，
∴△=b²-4ac=（4a-4）²-4×4a²=-32a+16＞0，
解得a＜

1

2

，
由方程③可得
x₁+x₂=-

4a-4

4

＞0④，x₁x₂=

a2

4

＞0⑤，
解得a＜1，a²＞0（即a≠0），
∴a＜

1

2

且a≠0；
（2）∵b=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，
把④⑤代入b中，得
b=

- 4a-4 4

a2 4

=

4-4a

a2

⑥；
（3）把b=3代入⑥得

4-4a

a2

=3，
整理得3a²+4a-4=0，
解得a₁=-2，a₂=

2

3

，
由（1）中知a＜

1

2

且a≠0；
∴a=-2．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．