Question

如图，AB为⊙O直径，自圆上一点P作AB的垂线PH，垂足为H，自点A向过P点的切线作垂线，垂足为K．求证：AH=AK．

Answer 1

证明：连接OP，过点O作OC⊥AK于点C，
∴∠OCK=90°，
∵PK是⊙O的切线，AK⊥PK，
∴∠OPK=∠PKC=90°，
∴四边形OCKP是矩形，
∴OP=CK，AK∥OP，
∴∠A=∠POH，
在△AOC和△OPH中，
，
∴△AOC≌△OPH（AAS），
∴AC=OH，
∵AK=AC+CK，AH=OA+OH=OP+OH，
∴AH=AK．
分析：首先连接OP，过点O作OC⊥AK于点C，易证得四边形OCKP是矩形，即可得CK=OP，又由△AOC≌△OPH，可得AC=OH，继而可证得AH=AK．
点评：此题考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．