如图.在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AB=DC=5.AD=6.BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动.动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发.当P点到达C点时.Q点随之停止运动．运动时间为t秒．(1)当PQ∥AB时.P点离开D点的时间等于多少秒?(2)设五边形ABQPD的面积为S.写出S与t的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点

随之停止运动．运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于多少秒？
（2）设五边形ABQPD的面积为S，写出S与t的函数关系式．
（3）PQ能否平分梯形ABCD，说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q、C三点构成直角三角形．

分析：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，由相似三角形的性质即可求出t的值；
（2）分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据∠B=∠C，用t表示出PG的长，再由S_{五边形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC即可得出结论；
（3）由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-

t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S_△PQC=18，由此可得出关于t的一元二次方程，求出此方程无解即可；
（4）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．

解答：

解：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，
∵AB∥MD，PQ∥AB，
∴PQ∥MD，
∴

，
∵CD=5，AD=6，BC=12，
∴MC=BC-BM=12-6=6，
∴

5-t

，
解得t=

（秒）；

（2）如图2，分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，
∴BE=

BC-AD

12-6

=3，
∵AB=5，
∴AE=

AB2-BE2

52-32

=4，
∴sinB=

，
∵∠B=∠C，sinC=

5-t

，
∴

5-t

，
解得PG=4-

t，

∴S_{五边形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC=

×（6+12）×4-

×2t×（4-

t），即S=

t²-4t+36（0＜t≤5）；

（3）不能．
∵由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-

t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S_△PQC=18，
∴

×2t×（4-

t）=18，即2t²-10t+45=0，
∵△=（-10）²-4×2×45=-260＜0，
∴此方程无解，
∴PQ不能平分梯形ABCD；

（4）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠PQC=90°时，△CQP∽△CND，
∴

，

5-t

，解得t=

；
如图4，过点D作DN⊥BC于点N，
∵当∠CPQ=90°时，△CQP∽△CDN，
∴

，

5-t

，解得t=

．
综上所述，当t=

或t=

时点P、Q、C三点构成直角三角形．

点评：本题考查的是相似形综合题及等腰梯形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形及直角三角形是解答此题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存

在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．