Question

如图，AB是半圆O的直径，延长AB至点C，使OB=BC，OC=4，点P是半圆上一动点（不与点A、点B重合），∠ACP=α，则α的取值范围是________．

Answer 1

0＜α≤30°
分析：当点P在半圆上运动时，有α＞0，当CP为圆O的切线时，α最大，此时连接OP即为圆的半径，根据切线性质得到OP⊥PC，即三角形OPC为直角三角形，由OB=BC=OP=OC，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°，得到α的最大值为30°，写出α的取值范围即可．
解答：解：当CP与半圆O相切时，如图所示，连接OP，
由切线的性质得到OP⊥PC，即△OPC为直角三角形，
又OB=BC=OC=2，则圆的半径r=2，即OP=2，
∴OP=OC，
则α=30°，
根据题意得到α的范围是：0＜α≤30°．
故答案为：0＜α≤30°
点评：此题考查学生掌握切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径，以及直角三角形的性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．连接切点与圆心是此类题经常连接的辅助线．