Question

17．如图，抛物线y=x²+2x+k+1与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C（0，-3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）求抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=x²+2x+k+1与y轴交于点C（0，-3），即可将点C的坐标代入函数解析式，解方程即可求得k的值，由抛物线y=x²+2x+k+1即可求得抛物线的对称轴为：x=-1；
（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+2x+k+1与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

（2）如图1，连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0\\;}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；

（3）如图2，点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
∵AB=1-（-3）=4，
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵点M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴当x=-1时，即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
如图3，过点M作MD⊥AB于D，则
S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×（3+x）×[4-（x+1）²]+$\frac{1}{2}$×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-$\frac{3}{2}$（x²+3x-4）
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，y=（-$\frac{3}{2}$+1）²-4=-$\frac{15}{4}$，
即当点M的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$．

点评 此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识的综合应用．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想进行求解．