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有一张矩形纸片ABCD,E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合),若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分,设AB=a,AD=b,BE=x,

(1)

求证:AF=EC;

(2)

用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后,再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折,平放拼接在梯形ECDF的下方,使一边重合,一腰落在DC的延长线上,拼接后,下方梯形证C.

①当x∶b为何值时,直线E经过原矩形的一个顶点;

②在直线E经过原矩形的一个顶点的情形下,连结B,直线B与EF是否平行;你若认为平行,请给予证明;你若认为不平行,试探究当a与b有何种数量关系时,它们就垂直.

答案:
解析:

(1)

  ∵EF将矩形分成面积相等的两部分

  ∴有关系式:(AF+x)a=(b-x+b-AF)a

  由此可证得AF=EC

(2)

  ①如图(1),当直线E经过原矩形的顶点D时,∵DC=C=a.EC∥,∴DE=E,∴2EC=

  即2(b-x)=x可解得x∶b=2∶3

  如图(2),当直线E过原矩形的顶点A时,

  ∵DC=C=a AD∥EC∥

  ∵AE=E ∴2EC=+AD

  即2(b-x)=x+b,从而解得x∶b=1∶3

  ③如图(1),当直线E过原矩形的顶点D时,B∥EF

  证明:连BF,∵DFBE

  ∴四边形BEDF为平行四边形,

  ∴BFDE,

  又DC=C EC∥

  ∴DE=E ∴BFE

  ∴四边形BFE是平行四边形,∴B∥EF.

  如图(2),当直线E经过原矩形的顶点A时,

  显然BEF,

  设直线EF与A交于点G,

  ∵∠FEC=∠EFA-∠EC

  又∠BEG=∠FEC

  ∴∠BEG=∠EC

  若∠EBG=∠EM

  则B⊥EF

  在B⊥EF的情况下,

  不妨设∠EBG=α,则∠EM=α

  在Rt△BM中,tanα=

  在Rt△EM中,tanα=

  ∴

  ∵a>b,b>0 ∴

  即当时,B⊥EF.


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精英家教网如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有两个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为(  )
A、1B、2C、3D、4

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                                                        (  )

                

A.1                 B.2            C.3                D.4

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科目:初中数学 来源:2013届江苏省无锡市北塘区九年级中考二模数学试卷(带解析) 题型:解答题

如图1,已知有一张三角形纸片ABC的一边AB=10,若D为AB边上的点,过点D作DE//BC交AC于点E,分别过点D、E作DF⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为点F、点G,把三角形纸片ABC分别沿DE、DF、EG按图1方式折叠,点A、B、C分别落在A´、B´、C´处.若A´、B´、C´在矩形DFGE内或者其边上,且互不重合,此时我们称△A´B´C´(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.

(1)实验操作:当AD=4时,①若∠A=90°,AB=AC,请在图2中画出“重叠三角形”,= ; 
②若AB=AC,BC=12,如图3,= ;③若∠B=30°,∠C=45°,如图4,= ;                     
(2)实验探究:若△ABC为等边三角形(如图5),设AD的长为m,若重叠三角形A´B´C´存在,试用含m的代数式表示重叠三角形A´B´C´的面积,并写出m的取值范围.

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科目:初中数学 来源:2012-2013学年江苏省无锡市北塘区九年级中考二模数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图1,已知有一张三角形纸片ABC的一边AB=10,若D为AB边上的点,过点D作DE//BC交AC于点E,分别过点D、E作DF⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为点F、点G,把三角形纸片ABC分别沿DE、DF、EG按图1方式折叠,点A、B、C分别落在A´、B´、C´处.若A´、B´、C´在矩形DFGE内或者其边上,且互不重合,此时我们称△A´B´C´(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.

(1)实验操作:当AD=4时,①若∠A=90°,AB=AC,请在图2中画出“重叠三角形”,= ; 

②若AB=AC,BC=12,如图3,= ;③若∠B=30°,∠C=45°,如图4,= ;                     

(2)实验探究:若△ABC为等边三角形(如图5),设AD的长为m,若重叠三角形A´B´C´存在,试用含m的代数式表示重叠三角形A´B´C´的面积,并写出m的取值范围.

 

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       A、1             B、2

       C、3              D、4

 

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