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已知点E是边长为2的正方形ABCD的AB边的延长线上一点,P为边AB上的一个动点(不与A、B重合),直线PF⊥PD,∠EBC的平分线与PF交于点Q.
(1)如图1,当P为AB的中点时,求PD的长,并比较PD与PQ长的大小;
(2)如图2,在点P运动过程中,PD与PQ长的大小关系会发生变化吗?为什么?
(3)设PB=x,△BPQ和△PAD的面积分别是S1、S2,又y=
S2S1
,试求y与x之间的函数关系式,并判断y随PB的变化而怎样变化?精英家教网
分析:(1)PA=1,AD=2,由勾股定理PD=
5
,取AD中点M,连PM,则DM=PB=1,AM=AP=1可通过求得∠PBQ=∠DMP,∠PDM=∠QPB证明△PDM≌△QPB继而推出PD=PQ.
(2)在点P运动过程中,设BP=x(0<x<2),则PA=2-x≠0,在AD取点N,使DN=PB=x,则NA=PA=2-x,连PN,则△PAN为等腰直角三角形,求出∠PND=∠QBP再由(1)知∠QPB=∠PDN所以可证明△PDN≌△QPB?PD=PQ
(3)根据(2)表示出S1=
1
2
PB×QH、S2=
1
2
AP×AD,y=
S1
S2
=
2
X
=
2
PB
,所以Y随PB的变大而减小.
解答:解:(1)当P为AB的中点时,PA=1,AD=2,
由勾股定理PD=
AD2+AP2
=
5
.(1分)
如图,取AD中点M,连PM,则DM=PB=1,AM=AP=1,
∴∠AMP=45°,∴∠PMD=135°.
∵BQ为直角∠EBC的角平分线,∴∠QBE=45°,∴∠PBQ=135°.
∴∠PBQ=∠DMP(2分)
又∵PF⊥PD,∠DPA+∠FPH=90°
在Rt△PAD中∠DPA+∠PDA=90°,∴∠PDM=∠QPB(3分)
∴△PDM≌△QPB,∴PD=PQ(4分)精英家教网
(2)在点P运动过程中,PD=PQ仍然成立.(5分)
证明:在点P运动过程中,设BP=x(0<x<2),则PA=2-x≠0,
同样,在AD取点N,使DN=PB=x,则NA=PA=2-x,连PN,则△PAN为等腰直角三角形,故
∠PNA=45°
∴∠PND=135°,
∴∠PND=∠QBP.(6分)
又由(1)知∠QPB=∠PDN,
∴△PDN≌△QPB,
∴PD=PQ.(7分)

(3)作QH⊥AB于H,则Rt△PDA≌Rt△QPH,即QH=PA=2-x,
S1=
1
2
PB×QH=
1
2
x(2-x)
(8分)
S2=
1
2
AP×AD=
1
2
×2(2-x)

∴y=
S2
S1
=
2
x
=
2
PB

故知y随PB的增大而减小(或减小而增大).(9分)
点评:本题主要考查三角形的全等及正方形的性质,注意在变化中寻找不变,深挖条件.
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如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足是B.请在射线BF上找一点M,使以点B精英家教网、M、C为顶点的三角形与△ABP相似.(请注意:全等图形是相似图形的特例)

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分析:连接PA、PB、PC,则△ABC被分割成三个三角形,根据:
S△PAB+S△PBC+S△PAC=S△ABC,即:
1
2
ah1+
1
2
ah2+
1
2
ah3=
3
4
a2
,可得h1+h2+h3=
3
2
a

问题1:若点P是边长为a的等边△ABC外一点(如图二所示位置),点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1,h2,h3.探索h1,h2,h3之间有什么关系呢?并证明你的结论;
问题2:如图三,正方形ABCD的边长为a,点P是BC边上任意一点(可与B、C重合),B、C、D三点到射线AP的距离分别是h1,h2,h3,设h1+h2+h3=y,线段AP=x,求y与x的函数关系式,并求y的最大值与最小值.
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精英家教网如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点,且PB=3,BF⊥BP,若在射线BF有一点M,使以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似,那么BM=
 

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已知点O是边长为2的正方形ABCD的中心,动点E、F分别在边AB、AD上移动(含端点).
(1)如图1,若∠EOF=90°,试证:OE=OF;
(2)如图2,当∠EOF=45°时,设BE=x,DF=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在满足(2)的条件时,试探究直线EF与正方形ABCD的内切圆O的位置关系,并证明你的结论.精英家教网

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21、如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足是B.
(1)利用尺规作图,试在射线BF上找一点M,使得△ABP≌△CBM.
(2)求证:△ABP≌△CBM.

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