Question

（2013•株洲）已知抛物线C₁的顶点为P（1，0），且过点（0，

1

4

）．将抛物线C₁向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C₂．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m²（m＞0）．
（1）求抛物线C₁的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C₁的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C₂交于点F．求证：tan∠EDF-tan∠ECP=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）设抛物线C₁的顶点式形式y=a（x-1）²，（a≠0），然后把点（0，

1

4

）代入求出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；
（3）先把直线AB与x轴的距离是m²代入抛物线C₁的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．

解答：（1）解：设抛物线C₁的顶点式形式y=a（x-1）²，（a≠0），
∵抛物线过点（0，

1

4

），
∴a（0-1）²=

1

4

，
解得a=

1

4

，
∴抛物线C₁的解析式为y=

1

4

（x-1）²，
一般形式为y=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

；

（2）解：当m=2时，m²=4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴

1

4

（x-1）²=4，
解得x₁=5，x₂=-3，
∴点B（-3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-5，4），
设抛物线C₂的解析式为y=

1

4

（x-1）²-h，
则

1

4

（-5-1）²-h=4，
解得h=5；

（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m²，
∴点B、C的纵坐标为m²，
∴

1

4

（x-1）²=m²，
解得x₁=1+2m，x₂=1-2m，
∴点C的坐标为（1+2m，m²），
又∵抛物线C₁的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m-1=2m，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-1-2m，m²），
∴AE=ED=1-（-1-2m）=2+2m，
设抛物线C₂的解析式为y=

1

4

（x-1）²-h，
则

1

4

（-1-2m-1）²-h=m²，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m²=m²+2m+1，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=

EF

ED

-

EP

CE

=

m2+2m+1

2+2m

-

m2

2m

=

m+1

2

-

m

2

=

1

2

，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=

1

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．