Question

5．在△ABC中，D为AB的中点，CD⊥AC，sin∠BCD=$\frac{1}{4}$，AC=5．求BC长．

Answer 1

分析 作出图形，取BC的中点E，连接DE，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CDE=90°，然后根据∠BCD的正弦求出CE，再求解即可．

解答 解：如图，取BC的中点E，连接DE，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵D为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴∠CDE=∠ACD=90°，
∵sin∠BCD=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{4}$，
∴CE=4DE=4×$\frac{5}{2}$=10，
∴BC=2CE=2×10=20．

点评 本题考查了解直角三角形，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线构造出三角形的中位线以及直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．