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    已知：如图，抛物线y=
    1
    3
    x2-bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，线段AB的垂精英家教网直平分线交抛物线于N点，且点N到x轴的距离为4，
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）过A、B、C三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴，y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
    （3）在（2）的条件下，设P为弧CBD上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，给出以下两个结论：①AH•AP为定值；②
    AH
    AP
    为定值，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．
    分析：（1）由题意：线段AB的垂直平分线交抛物线于N点，那么点N必为抛物线的顶点，而N到x轴的距离为4，结合图形可知N点的纵坐标为-4，利用公式法即可求出b的值，然后根据抛物线对称轴的位置，将不合题意的b值舍去，即可求得该抛物线的解析式．
    （2）根据（1）所得抛物线的解析式，易求得A、B、C三点的坐标，即可得到OA、OB、OC的长，可求得∠OAC=60°，∠OBC=30°，即∠ACB=90°，由此可推出AB是⊙M的直径，即M是AB的中点，那么DE也为⊙M的直径，若连接CE，则CE⊥DC，即CE∥x轴，根据抛物线的对称轴即可求出点E的坐标；根据圆的对称性知C、D关于原点对称，由此可得到D点的坐标，易求得OM、OD的长，即可得出∠ODM=∠OBC=30°，从而证得DE⊥BC，即BC∥FG，直线BC的解析式易求得，即可得到直线FG的斜率，将已求的点E坐标代入上式，即可确定出直线FG的解析式．
    （3）①的结论是正确的．可设AH=x，AP=y，在Rt△AOH中，由勾股定理易求得OH=
    		x2-3
    ，由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，将各线段的数值（或表达式）代入上式，即可求得AH•AP的值．
    （另一种解法，连接CP，通过证△ACH∽△APC，利用相似三角形的比例线段来证明．）
    解答：解：（1）由题意知：N点为抛物线的顶点，且纵坐标为-4；
    则有：
    4×(-
    1
    3
    )×3-b2
    4×(-
    1
    3
    )
    =-4，
    解得b=±
    2
    		3
    3
    ；
    由于抛物线的对称轴在y轴右侧，
    故b=
    2
    		3
    3
    不合题意，舍去；
    ∴该抛物线的解析式为：y=
    1
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x-3．

    （2）易知：A（-
    		3
    ，0），B（3
    		3
    ，0），C（0，-3），D（0，3）；
    则OA=
    		3
    ，OB=3
    		3
    ，OC=3，OD=3；
    Rt△OAC中，OA=
    		3
    ，OC=3，则∠OAC=60°，∠OCA=30°；
    同理可证：∠ODM=∠OCA=∠OBC=30°，
    ∴∠ACB=90°，AB为⊙M的直径；
    ∵CE过点M，则CE是⊙M的直径，精英家教网
    ∴连接CE，那么∠DCE=90°，
    故CE∥x轴，C、E关于抛物线的对称轴对称，
    则E（2
    		3
    ，-3）；
    已证∠ODM=∠OCA=30°，则AC∥DE，
    而∠ACB=90°，
    所以DE⊥BC；
    ∵EF是⊙M的切线，
    ∴CE⊥FG，
    故FG∥BC；
    由B（3
    		3
    ，0），C（0，-3），易求得直线BC：y=
    		3
    3
    x-3，
    设直线FG的解析式为：y=
    		3
    3
    x+h，将E点坐标代入上式，得：
    		3
    3
    ×2
    		3
    +h=-3，h=-5；
    ∴直线FG的解析式为：y=
    		3
    3
    x-5．

    （3）∵D（0，-3），C（0，3），A（-
    		3
    ，0），
    ∴OC=OD=3，OA=
    		3
    ；
    设AH=x，AP=y；
    在Rt△AOH中，由勾股定理可得：OH=
    		x2-3
    ；
    由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，即：
    x（y-x）=（3+
    		x2-3
    ）（3-
    		x2-3
    ），
    整理得：xy=12．
    故①的结论正确，AH•AP为定值，其值为12．
    点评：此题是二次函数与圆的综合题，考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、解直角三角形、平行线的判定和性质、相交弦定理等知识，综合性强，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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