Question

（2013•本溪二模）如图，已知AD是△ABC中BC边上的高，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F，点G是BD的中点
（1）求证，GE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AD=4，求由线段GD、GE和弧DE围成的阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE，OG，由AD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DE垂直于AB，在直角三角形BED中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=DG，再由OE=OD，OG为公共边，利用SSS得出三角形OEG与三角形ODG全等，利用全等三角形对应边相等得到∠OEG=∠ODG=90°，即可确定出EG为圆O的切线；
（2）由∠B的度数求出∠EOD的度数，利用扇形面积公式求出扇形EOD的面积，再求出三角形EOD面积，由扇形面积减去三角形面积求出弓形DE面积，再由三角形EGD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．

解答：解：（1）连接OE，OG，
∵AD为圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，EG为斜边BD的中点，
∴EG=BG=DG=

1

2

BD，
在△OEG和△ODG中，

OE=OD OG=OG EG=DG

，
∴△OEG≌△ODG（SSS），
∴∠OEG=∠ODG=90°，
则EG为圆O的切线；

（2）∵EG=BG，
∴∠BEG=∠B=30°，
∴∠EGD=60°，∠EOD=120°，
∵EG=DG，GO为∠EGD平分线，
∴OG⊥ED，
∵AD=4，
∴OE=OD=2，
∴S_弓形ED=S_扇形EOD-S_△EOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

，
则S_阴影=S_△EDG-S_弓形ED=

1

2

×3×2

3

-

4π

3

+

3

=4

3

-

4π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．