Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为

6

，∠APB=

150°

．

Answer 1

分析：连接PP′，根据旋转的性质得到∠PAP′=60°，PA=PA′=6，P′B=PC=10，利用等边三角形的判定方法得到△PAP′为等边三角形，再根据等边三角形的性质有PP′=PA=6，∠P′PA=60°，由于PP′²+PB²=P′B²，根据勾股定理的逆定理得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，则∠APB=∠P′PB+∠BPP′=60°+90°=150°．

解答：解：连接PP′，如图，
∵△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=60°，PA=PA′=6，P′B=PC=10，
∴△PAP′为等边三角形，
∴PP′=PA=6，∠P′PA=60°，
在△BPP′中，P′B=10，PB=8，PP′=6，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠P′PB+∠BPP′=60°+90°=150°．
故答案为6，150°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．