Question

1．已知两个二次函数y₁=-x²+bx+c和y₂=-x²+m，对于函数y₁，当x=2时，该函数取最大值．
（1）求b的值；
（2）若函数y₁的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y₁、y₂的图象都经过点（1，2），过点（0，a+3）（a为实数）作x轴的平行线l．
①若l与函数y₁、y₂的图象只有3个不同的公共点，则a=-1；
②若l与函数y₁、y₂的图象共有4个不同交点，这4个交点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃、x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于题意知x=2时，该函数取得最小值，所以x=2时该函数y₁的对称轴；
（2）若函数y₁的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，则分为两种情况讨论，一种是抛物线与x轴有两个交点时，另一种是抛物线与x轴有1个交点，然后分别求出c的值即可；
（3）①由l与函数y₁、y₂的图象只有3个不同的公共点知直线l过点（1，2），从而得知a+3=2，可得答案；②函数y₁与y₂经过（1，-2），所以可求出c与m的值，根据函数解析式画出图象可知，若过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y₁、y₂的图象共有4个不同的交点时，则a+3＜3且a≠-1，再分别求出y₁、y₂分别等于a+3时x的值，分-1＜a＜0和a＞-1时x₁、x₂、x₃、x₄的值，从而代入x₄-x₃+x₂-x₁可知最值情况，

解答 解：（1）由题意，得：-$\frac{b}{2×（-1）}$=2，
∴b=4；

（2）①若图象过原点，则图象与x轴另一交点坐标为（4，0），
∴两个公共点间的距离为4．
②若与x轴有一个交点，得：16+4c=0，
∴c=-4，即y₁=-x²+4x-4=-（x-2）²，
y₁与坐标轴的交点坐标为（2，0）、（0，-4），
∴这两点之间的距离为2$\sqrt{5}$，
综上所述，当y₁的图象与坐标轴只有两个不同的公共点时，
这两点间距离为4或2$\sqrt{5}$；

（3）①根据题意知a+3=2，解得：a=-1，
故答案为：-1；
②因为函数y₁、y₂的图象都经过点（1，2）
所以-1+4+c=2，且-1+m=2，
∴c=-1，m=3，
∴y₁=-（x-2）²+3，y₂=-x²+3，

结合图象，由题意，知：a+3＜3，
∴a＜0，
令y₁=a+3，则-x²+4x-1=a+3 即（x-2）²=-a，解得x=2±$\sqrt{-a}$，
令y₂=a+3，则-x²+3=a+3，即x²=-a，解得x=$±\sqrt{-a}$，
因为x₁＜x₂＜x₃＜x₄，显然x₁=-$\sqrt{-a}$，x₄=2+$\sqrt{-a}$，
由①知，a≠-1，则a的取值范围是a＜0且a≠-1，
当-1＜a＜0时，$\sqrt{-a}$$＜2-\sqrt{-a}$，∴x₂=$\sqrt{-a}$，x₃=2-$\sqrt{-a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=2+$\sqrt{-a}$-（2-$\sqrt{-a}$）+$\sqrt{-a}$-（-$\sqrt{-a}$）=4$\sqrt{-a}$＜4，
当a＞-1时，$\sqrt{-a}$$＞2-\sqrt{-a}$，
∴x₃=$\sqrt{-a}$，x₂=2-$\sqrt{-a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=2+$\sqrt{-a}$-$\sqrt{-a}$+2-$\sqrt{-a}$-（-$\sqrt{-a}$）=4，
综上所述，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值为4．

点评 本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．