Question

【题目】如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE．

（1）若点B坐标为（﹣6，0），求直线AE的表达式；

（2）反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M、N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP＜NP，直接写出n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x；（2）y＝﹣；（3）＜n≤2．

【解析】

（1）由矩形的性质结合点B的坐标，可得出点A，E的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AE的表达式；（2）由DC的长结合反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点E的坐标为（，4），在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长，结合AF﹣AE＝2可得出AF的长，由BC＝3可得出点F的坐标为（﹣3，1），再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）由（2）可得出点M，N的坐标，结合平移的性质可得出平移后点M，N的坐标，设设点P的坐标为（﹣+n，y），由点P在MN上且MP＜NP，可得出y的取值范围，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．

（1）由题意，可知：点A的坐标为（﹣6，8），点E的坐标为（﹣3，4）．

设直线AE的表达式为y＝kx+b（k≠0），

将A（﹣6，8），E（﹣3，4）代入y＝kx+b，得： ，

解得：，

∴当点B的坐标为（﹣6，0）时，直线AE的表达式为y＝﹣x．

（2）∵反比例函数y＝的图象经过点E，E是DC的中点，DC＝8，

∴点E的坐标为（，4）．

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4，∠ADE＝90°，

∴AE＝＝5．

∵AF﹣AE＝2，

∴AF＝7，

∴BF＝AB﹣AF＝1，

∴点F的坐标为（﹣3，1）．

∵点F在反比例函数y＝的图象上，

∴﹣3＝m，

解得：m＝﹣4，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣．

（3）由（2）可知：点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（﹣1，0），

∴点M的坐标为（﹣，8），点N的坐标为（﹣，0），

∴平移后的点M的坐标为（﹣+n，8），平移后点N的坐标为（﹣+n，0）．

设点P的坐标为（﹣+n，y），∵点P在MN上，且MP＜NP，

∴4＜y≤8．

∵点P在反比例函数y＝﹣的图象上，

∴，

解得：＜n≤2．