Question

如图，△ABC中，点D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．已给的图形中存在哪几对相似三角形？请选择一对进行证明．

Answer 1

解：
图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对．
证明（1）△ADE∽△AEC．
∵CE⊥BD于E，
∴∠CED=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2ED．
∵CD=2AD，
∴AD=ED．
∴∠DEA=∠DAE．
∵∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠DEA=∠ECD=30°．
∵∠DAE=∠EAC，
∴△ADE∽△AEC．

证明（2）△BCD∽△ACB
提示：在证明△BCD∽△ACB时
证出①AE=CE，
②AE=BE，
③∠CBD=45°，
④△BCD∽△ACB．
分析：图中有两对相似三角形：（1）△ADE∽△AEC或（2）△BCD∽△ACB；
（1）首先由∠BDC=60°、CE⊥DE证得CD=2DE，由此可得出AD=DE，即∠DAE=∠DEA=30°，即可证得∠DEA=∠ECA=30°，加上公共角∠EAC，即可判定两个三角形相似；
（2）同（1）可证得∠EAC=∠ECA=30°，进一步可证得∠EBA=∠EAB=15°；由此可得出AE=BE=CE，即△CEB是等腰Rt△；则∠CBE=45°=∠BAC，再加上公共角∠BCD，即可判定两个三角形相似．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．