Question

如图，∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点．
（1）求证：∠EAF=∠EBF；
（2）试判断直线EF与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明EM⊥AB，由AM=BM，得到EM为AB的垂直平分线；进而得到∠EAB=∠EBA，∠FAB=∠FBA，即可解决问题．
（2）由E、F、M三点共线，且FM⊥AB，得到EF⊥AB．

解答：（1）证明：如图，取AB的中点M，连接EM、FM；
∵点E，F分别是AC，BC的中点，
∴EM∥BC，FM∥AD；
∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴EM⊥AB，FM⊥AB，
∴EM、FM重合，即E、F、M三点共线；
∵EM⊥AB，且平分AB，
∴EA=EB，FA=FB，
∴∠EAB=∠EBA，∠FAB=∠FBA，
∴∠EAF=∠EBF．
（2）证明：∵E、F、M三点共线，且FM⊥AB，
∴EF⊥AB．

点评：该题主要考查了三角形的中位线定理、平行线的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造中位线．